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もうすぐ高校入試です [受験勉強高校入試]

いよいよ2月13日月曜日
筑波大学附属駒場の入試です。
実質一発勝負です。
滑り止めや何やらはありません[あせあせ(飛び散る汗)]
なぜなら
全範囲が終わってないからです(笑)

私の生徒は
学校がちゃんとカリキュラムを
教えてくれてなかったため
一年前に引き受けた時点で
二、三年はかかる状態でした。
完全に不可能でした。
ですから、相談して一校に絞って
でそうなところから一つ一つ完璧に仕上げてきました。
五教科受験ですので
大変でした。
まずは私の山が当たるかどうか[たらーっ(汗)]
当たらなかったら落ちます。
確実に。
当たっても確実に受かるわけではないですが
当たればかなり合格に近づけるようには
仕上げてきてあります。
本人も私が出る可能性が高いと
言った部分に関しては自信があるようです。

そんな感じでやってきましたので
仮に偏差値の低めの学校を受けても
私立は落ちると思います。

私の予想が数科目にわたって当たる確率は
最高で20%です。イコールそれが合格率です。
かなり厳しい戦いですが
今まで1年間、私の生徒の誰よりも勉強は
したと思います。
その積み上げた勉強は、今後の彼の人生の糧に
なります。ですから、落ちても全てが無駄になる
わけではありません。
でも、合格させてあげたいです、して欲しいです!

残り数日
出来る限りのことはして
送り出したいと思います。

もうすぐ高校入試です。 [受験勉強高校入試]

いよいよ2月10日開成高校入試です。
一年半くらい
しっかり時間をかけてやってきたのですが
最初はというか、秋くらいまで慶應を受験するために
やってきたものですから
なんとなく違和感は感じますが
高校入試はしっかり積み上げていけば安定して合格できるので
頑張ってほしいです。

何だか忙しくて
今日はこの辺で終わりです。
新規募集の対応も
色々予定が決まらない部分については
何とも言えませんのしばらく保留のような形になる方もおりますので
御理解頂ければと思います。

それでは
また明日

算数(数学)の有名な問題~数の表し方~(解答編) [受験勉強高校入試]

昨日の問題の解答を書きます。
広く解法が理解して頂けるように
あまり知識のいらない方法で解きます。
一応問題の確認です。

問題)
自然数nをそれより小さい自然数であらわすことを
考える。ただし1+1+2、1+2+1のように順序の違うもの
も別の表し方とカウントするようにする。2以上の自然数
の表し方は何通りあるか?

という問題でした。
これを高校生が解く場合には手間さえ惜しまなければ
そんなに大変ではありません。
基本的な解法としては
①漸化式をたてて解く
②分割を考える
のいずれでも解ける筈です。
大学入試を考えるとこの二つの解法はしっかり
出来て欲しいですが
数学の醍醐味というか楽しさは
発想によっては、問題が非常に簡単になる
というところにあります。

この問題も考え方によっては
1分も解くのに時間がかかりません。

(解答)
ある数n=1+1+1+1+……+1と全て1の和で表す。
(要は1がn個と+がn-1個の形に直します。)
そうすると各+記号は計算するかしないかの2通り
に場合分けされます。
全体の場合の数は2をn-1個掛ければOKですから
2のn-1乗(2*n-1)となるわけです。
但し、全部足した場合はnになってしまいますから
その1通りを引きます。
そうすると答えは2*n-1ー1通りとなります。


昨日の簡単な例で確認してみましょう。
3の場合、3=1+1+1、1+2、2+1の3通りでした。
これは
3=1+1+1と書くと
最初の+を計算するかしないか、2番目の+を計算するか
しないかで、場合は
(最初の+,二番目の+)=(する,する)(する,しない)
           (しない,する)(しない,しない)
の4通りで、
そのまま計算すると
順に3,2+1,1+2,1+1+1となります。
最初の3だけ答えではないので除きます。
すると、答えの場合の数に対応していることが分かります。

このように数学や算数の問題は解き方によっては
非常に楽になる場合もあります。
試験ではなく、自分の勉強のときは
様々な解法を考えてみてくだい[ぴかぴか(新しい)]
タグ:算数 数学
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算数(数学)の有名な問題~数の表し方~ [受験勉強高校入試]

今日は算数(数学)の有名問題について書いてみたい
と思います。
問題の題意が簡単で誰にも取り組みやすい問題です。
是非紙と鉛筆を持ってチャレンジしてみてください。
解答は明日書く予定です。

(問題)
自然数nをそれより小さい自然数であらわすことを
考える。ただし1+1+2、1+2+1のように順序の違うもの
も別の表し方とカウントするようにする。2以上の自然数
の表し方は何通りあるか?

例)たとえば3を考えてみると3より小さい数(つまり
1と2)で3を表すのですから
3=1+1+1、1+2、2+1の3通りになります。
これを一般化してnという数字の時になん通りあるか?
という問題です。

20秒問題解答 [受験勉強高校入試]

問1、3x+y=1
   2x-5y=1
   の交点を通り5x-4y=0に平行な直線の方程式を求めよ

問2、a,b,c,dは実数とする
   直線ax+by=1
      cx+dy=1
    の交点が(3,4)であるとき、2点p(a,b)、q(c,d)を通る
   直線の方程式を求めよ。

という問題でした。今回はこの解説をします。
(問1)
これは曲線群という考えが身に付いている人には簡単な問題です。
一般的に
Y=f(x)とY=g(x)の交点を通る曲線群は
α{Y-f(x)}+β{Y-g(x)}=0
と書けます。
この問題の場合見るからに3x+y=1と2x-5y=1をそのまま
加えれば左辺が5x-4yとなります。
ですから、5x-4y=2が答えとなります。
ちなみにその時α=β=1です。
α{Y-f(x)}+β{Y-g(x)}=0は両辺をα(not0)で割ってβ/α=kとおいて
Y-f(x)+k{Y-g(x)}=0として使うのが便利です。
この式は本当に役に立つので高校受験においても
それ以上においても覚えていくべきだと思います。

(問2)
問1では曲線群という知識を使いました。
この問題では特別な知識は使いませんが、
代数的な考え方が身に付いていないと迷ってしまいます。
答えは3x+4y=1です。
しっかりと説明しておくと
これはax+by=1
      cx+dy=1に(3,4)を代入してみると

      3a+4b=1
      3c+4d=1
となります。
これをじ~っとみていると…3x+4y=1にp(a,b)、q(c,d)を代入した
式と読むことができます。
従って答えは3x+4y=1です

このように数学では一つの式を様々な視点から見る、
「解釈する」ということが非常に本質的です。
一見何の関係もないものを違う視点から捉えなおすと実は関係があり
その関係を見つけるのが数学です。
なかなかその関係を自分で見つけるのは難しいですが、
様々な先人の解釈に触れ、感動することが
そのような感覚を磨くコツではないかと私は思います。






20秒問題 [受験勉強高校入試]

今日は本質さえ捉えていれば20秒で解ける問題を課題でだします。
中学二年以上の知識があれば
時間制限がなければ誰でも解ける問題です。

問1、3x+y=1
2x-5y=1
   の交点を通り5x-4y=0に平行な直線の方程式を求めよ

問2、a,b,c,dは実数とする
   直線ax+by=1
cx+dy=1
    の交点が(3,4)であるとき、2点p(a,b)、q(c,d)を通る
   直線の方程式を求めよ。

(オマケ)
今日は夕方から結構な雨が降りました。
雨が降るとスーツも靴もビショビショになってしまい
ブルーな気持ちです。
私は結構晴れ男で、電車の中では降っていた雨が
歩くときになるとやむことが多いですが
今日はそうもいきませんでした。
明日から晴れるそうなのでよかったです。
花粉症もおさまり、今は暑くも寒くもなく快適ですね[わーい(嬉しい顔)]

(-1)×(-1)=+1となるのは何故か? [受験勉強高校入試]

マイナス掛けるマイナスが何故プラスか?
しっかりと教えてもらったことがない人が結構いるのに驚くことがよくあります。
普通の学校教育では温度や借金、ひどい学校ですと「決まり」だから
覚えろと言われるそうです。

数学の決まりは公理と言われています。(-1)×(-1)=+1は公理ではありません。
今回はこれを公理を使って証明します。
自然数に関する公理はペアノによって23にまとめられました。
そのうちの四つを使って証明します。

(公理) ①a×0=0
     ②(+a)+(-a)=0 (マイナスの数の定義)
     ③(-1)×(+1)=-1
     ④a(b+c)=ab+ac(分配法則)

ここで(-1)×{(+1)×(-1)}=0を考える。
括弧内は公理②より0
∴(-1)×0=0(∵公理①より)なので(-1)×{(+1)×(-1)}=0は確かに成立。

公理④より(-1)×{(+1)×(-1)}=(-1)×(+1)+(-1)×(-1)=0
公理③より(-1)×(+1)=-1なので(-1)+(-1)×(-1)=0
∴公理②より(-1にたして0になるのは+1だけ)(-1)×(-1)=+1が示された。

このようにマイナス×マイナスがプラスになることは数学的に証明されるのです。

記述力アップ [受験勉強高校入試]

今回の内容は一応高校受験向けで書いていますが、
それ以外の方にも有用だと思います。

中学生になると作文など文書を書く機会が増えます。
私も授業中に生徒から、文章が書けない、という質問を受けるので、
今回はこのことに関して、ごく初歩的な技術だけ説明します。
もう少し発展的な内容は授業でお話しています。
(別に企業秘密ではありません(笑)、細かくと膨大な量と時間に
なってしまうのです。)

まず、一口に「書けない」と言いますが、
生徒の「書けない」状態を冷静に見てみると
「何を書けばいいのか」と「どう書けばいいのか」が混在して
「書けない」状態になっている人がほとんどです。
今回はこの状況を打破する為に、
どうしたら文章が少しでも書きやすくなるかについて
書いてみたいと思います。

ここでいう文章は感想文ではなく、小論文に
近い文章です。私のブログのような軽い会話形式のものでは
なく、学校で宿題にでるような文章のことです。

自分の考えを読む人に納得してもらえるように説明することが
この種の文章では最重要事項です。
一気に上記の文章を書くのは難しいので一つ一つ要素に分けて
説明していきます。

まずは自分の考えを短文で書いてみましょう。
この短文は「AはBである」という形式でなるべく簡単に書いてみてください。

例えば、「家庭教師の仕事は大変である。」とします。

この時に「家庭教師の仕事は、他のどんな仕事に比べても大変な仕事である。」
のように修飾語などを使い過ぎると論点がぼやけるのでなるべく単純にしてください。
上の例だと「他の仕事と比べて大変」という点に論点を持っていくか、
「家庭教師の仕事の大変さ」を書いていくのか、など自分の書きたい内容を自分で
難しくしてしまいます。ですから、なるべくシンプルに書いてみてください。

次に納得してもらえるように理由を書きます。
これもまずは単純に。
例えば「生徒一人一人の人生がかかっているからである。」
    「自分が移動して授業をしなければならないからである。」
のように「考え」の理由を書いてみてください。
これは、思いつくだけ書いてみてください。
理由が多ければ多いほど長い文章になります。
ただ、最初ですので一つか二つの理由を選んでください。
(長い文章の場合は、理由をどの順番で並べていくか、それぞれ相互の関係
について配慮しなければなりません。)

ここで、文と文章について軽く書いておきます。
文章は当たり前ですが一つ一つの「文」から成り立っています。
文章を書くというのは、
一つ一つの文に役割を与えて、全体として文章になるように構成する
ということです。
先程の例でいえば、「家庭教師の仕事は大変である。」が「考え」
            「生徒一人一人の人生がかかっているからである。」
            「自分が移動して授業をしなければならないからである。」が「理由」という
役割を与えたわけです。

ここで注意がありますが、最初のうちは
「1つの文に与える役割は1つ」の方がいいです。
文章は文というピースでジグソーパズルを作るようなものです。
1つ1つのピースの形が複雑だと組み立てるのが大変になってしまい、
いきなり挫折します。1つの文章に様々な要素を入れて、それを紡ぎあげていくのは
プロの技です。そういう技術は評論文を読むとかなり勉強になります。

そして、次の段階として「理由」を読者に納得させられるように
「説明」します。
この説明ですが、「考え」を説明するよりも、
「理由」を説明していった方がはるかに書きやすいです。
しかも、その方が話が膨らみ、自分の中に新しいアイデアが
生まれるという副産物も期待されます。

この説明の技術は簡単に言うと次の二つです。
①実例をあげる
②理由を更に詳しく言い直す

①については具体例なので書きやすいでしょう。
ただ、しっかりと「理由」の具体例になっていなければなりません。
「具体例」を書かせると、余計なことまで書いてしまう
生徒が結構います。

②については「理由」について他の視点から見直してみるのが
いいと思います。家庭教師の例でいえば
「自分が移動して授業をしなければならないからである。」
普通の集団授業では~とか
自分で移動するということは
生徒の移動時間が少なくてすむ
生徒の移動時間が少なくなれば、その時間を自宅学習に充てられる…など
視点を変えると、譲歩構文がのための譲歩部分が見つかったり、
新しい書く内容が見つかったりします。

文書を書き始める前にこのような「考え」「理由」「説明」を
どんどんメモすると、学校や試験で課題がでても、簡単に文書がけるようになります。
後は文章の構成を考えれば2000字(原稿用紙5枚)くらいなら、すぐに文章になります。
このような力が付いてきたら、後は自分の書く内容、用途、文字数に合わせて
いろいろカスタマイズすればいいだけです。

(オマケ)
このようなメモを思いついた時にしておくことは
非常に有用です。メモから、どんどん他の思考に移っていくことも可能です。
また、文章の組み立てを学ぶには実際の評論文を読んだり、
評論の入試問題を解けばいいと思います。
実は、このように文章の組み立てを意識して書く練習をすれば
入試問題の評論文を解く力も自然に身につくのです。
「速読について」の私のブログでも書きましたが
読書の方法は用途によって変えなければなりません。
そこでも主張しましたが、高校生くらいまでは、
丁寧に文章の構成や表現を意識して勉強しながら読み
それを自分の書く文章に活かすトレーニングをしなければいけません。
ですから、高校までの読書に速読は不要なのです。
内容把握だけでは、その文章の内容しか吸収できません。
そうではなくて、筆者がどのような議論の方法で自分の主張をしよう
としているのか、語句の使い方など、一度の読書でなるべく多くのことを
吸収して欲しいです。そうすれば、国語の入試問題などそれほど特別な
学習をしなくてもできるようになるのです。

自由に書く力がついてから、沢山の本の内容を把握しなければならなくなってから
速読のトレーニングをすればいいと思います。
もっとも、しっかり書ける力がついている頃には、自然に速く読めるように
なってしまっていると思いますが。
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