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20秒問題解答 [受験勉強高校入試]

問1、3x+y=1
   2x-5y=1
   の交点を通り5x-4y=0に平行な直線の方程式を求めよ

問2、a,b,c,dは実数とする
   直線ax+by=1
      cx+dy=1
    の交点が(3,4)であるとき、2点p(a,b)、q(c,d)を通る
   直線の方程式を求めよ。

という問題でした。今回はこの解説をします。
(問1)
これは曲線群という考えが身に付いている人には簡単な問題です。
一般的に
Y=f(x)とY=g(x)の交点を通る曲線群は
α{Y-f(x)}+β{Y-g(x)}=0
と書けます。
この問題の場合見るからに3x+y=1と2x-5y=1をそのまま
加えれば左辺が5x-4yとなります。
ですから、5x-4y=2が答えとなります。
ちなみにその時α=β=1です。
α{Y-f(x)}+β{Y-g(x)}=0は両辺をα(not0)で割ってβ/α=kとおいて
Y-f(x)+k{Y-g(x)}=0として使うのが便利です。
この式は本当に役に立つので高校受験においても
それ以上においても覚えていくべきだと思います。

(問2)
問1では曲線群という知識を使いました。
この問題では特別な知識は使いませんが、
代数的な考え方が身に付いていないと迷ってしまいます。
答えは3x+4y=1です。
しっかりと説明しておくと
これはax+by=1
      cx+dy=1に(3,4)を代入してみると

      3a+4b=1
      3c+4d=1
となります。
これをじ~っとみていると…3x+4y=1にp(a,b)、q(c,d)を代入した
式と読むことができます。
従って答えは3x+4y=1です

このように数学では一つの式を様々な視点から見る、
「解釈する」ということが非常に本質的です。
一見何の関係もないものを違う視点から捉えなおすと実は関係があり
その関係を見つけるのが数学です。
なかなかその関係を自分で見つけるのは難しいですが、
様々な先人の解釈に触れ、感動することが
そのような感覚を磨くコツではないかと私は思います。






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