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第4講 ローレンツ変換と4次元 [相対性理論講義]

前回までで特殊相対性理論について理解する
道具は全て揃いました。
今回はその根幹を成すローレンンツ変換を導きます。
中学三年程度の数学力があれば理解して頂けるように
私が予め難しい部分を簡単にしてあります。
しかも、正確性を損なわないように説明します。
頑張ってついてきてください[exclamation×2]
今日は写真が沢山あります[わーい(嬉しい顔)]
それでは始めます。


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今からローレンツ変換を導きます。必要な式はガリレオの相対性原理と光速度不変の原理です。まずは相対性原理について、説明します。左のように座標を二つとります。ひとつは地上から見た座標S、もう一つは速度Vで右側に等速運動する座標S'です。これは電車を想像して頂ければ分かりやすいと思います。ローレンツ変換とはこの地上から見た座標を電車から見た座標に変換することです。即ち私たちの目標はx'とt'をxとtで表すことにあります。ここで注意して頂きたいのは前回の講義の「同時刻」で述べたように、二つの時間tが異なるのがポイントです。ですから、tとt'に区別しています。(図1)はSから見たS'、(図2)はS'から見たSの関係を表しています。そうすると図から①、②式が導かれます。ここで伸び率γというものを導入したのがアインシュタインの素晴らしい発想です。これはγ=1、t=t'の時に相対性原理を満たしています。
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次に光速度不変の原理ですが、光は一定速度ですので、(距離)=(速度)×(時間)が成立し、③、④のようになります。この時も座標によって時間が異なることに注意してください。
この相対性原理と光速度不変を使って、まずは伸び率γを決めにかかります。そうすると左図のようにγが求まります。この式を⑤とします。












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これで、第一の目標のx'が求まります。今度はこれを使ってt'を求めます。左の図のように代入すれば求まります。式がごっついですが、式変形自体は簡単です。この計算で求まった⑥、⑧を合わせてローレンツ変換といいます。アインシュタインも他の本もかなり難しく導いています。この導き方は、私が高校一年の地理の授業中に思いつきました[わーい(嬉しい顔)][手(チョキ)]
私は相対性理論の本を全て知っている訳ではないので、もっと簡単な方法があるのかも知れませんが、この説明はこれ以上ないくらい簡単ではないでしょうか。








090306_093126.jpgここで、時間についてもう少し深く考察してみましょう。左の図の(第4の次元)の所をみてください。ローレンツ変換に出てくる沢山の分数が見にくいので、Tとβとおいて式を簡素化します。そうすると、⑥は⑨のようになり、⑧を変形すると⑩のようになります。この⑨と⑩が式として対等なことが衝撃です[exclamation×2]
つまり、時間も縦、横、高さのような一つの次元なのです[exclamation×2]
ですから我々は三次元の世界に生きている訳ではなく、時空4次元に生きているのです[ひらめき]これが最初の相対性理論の驚くべき結果です。我々は時間は流れていくように感じますが、実は違います。いつか説明しますが、我々が、熱力学の不可逆過程のエントロピーが増大する様を時間があたかも流れているように解釈しているだけなのです[exclamation×2]こうなるとタイムマシーンの持つ意味も変わってきてしまいます。これは別のブログのコーナーで説明します。

(まとめ)
特殊相対性理論は1905年に発表されましたが、この世界が時空4次元であること
はなかなか定着していないようです。
ドラえもんの4次元ポケットもそうです。
皆さんのポケットも4次元ポケットなのです。
相対性理論を学んだドラえもんは次のように書き換えられるのです[わーい(嬉しい顔)]

のび太「ドラえも~ん、[もうやだ~(悲しい顔)]またジャイアンにいじめられたよ~。4次元ポケットで何か出してよ~」

ドラえもん「4次元ポケット?君も持ってるだろ?」

のび太「何言ってるんだよ~、意地悪しないでよ~」

ドラえもん「う~ん、僕のポッケに入っているのは渋谷でもらったティッシュと小銭くらいなんだ」
      「でも、一応やっておくか…」

タラララッタラ~ン[ぴかぴか(新しい)]

ドラえもん「100円だ~ま~[exclamation]。これでアイスでもジャイアンに買って行って許してもらえば?」

のび太「相対性理論のバカ、バカ、バカ~」


また昔のマンガのセリフ
「ハハハハハ、貴様は4次元空間に迷い込んだな」
↑これはただの迷子です[わーい(嬉しい顔)]
サービスカウンターで連れの方が来るまでお待ちください[わーい(嬉しい顔)][わーい(嬉しい顔)]

このように相対性理論によって様々な漫画は書き直されるのです。

でも実はこの世界は4次元ではないと私は思っています。これは超弦理論を学べばわかります。
最新の物理です。超弦理論を使った次元の解を求める方法を私は高3の時に導きましたが、
それが今の時代になって除除に認められ始めているのは嬉しいことです。

次回はローレンツ変換を使って、相対性理論から導かれる更に
不思議な話について講義します。[わーい(嬉しい顔)][手(パー)]


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